Cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant O ; n est un entier naturel.
On dit que la fonction f admet un développement limité d'ordre $n$ en 0 s'il existe un polynôme $P_n$ de
degré inférieur ou égal à $n$ et une fonction $\epsilon$ tels que :
$$f(x)= P_n(x)+x^n\epsilon(x)$$ avec $$\lim\limits_{x\to 0}\epsilon(x) =0.$$
Pour obtenir ce dl à l'ordre $n$ avec xcas on écrit l'instruction suivante :
taylor(f(x),x,n,0).Donner le dl à l'ordre 4 en 0 de la fonction $f(x)=(2x+3)sin(x)$.
$P_n$ est une "bonne" approximation de $f$ au voisinage de 0.
La partie de degré 1 de $P_n$ donne l'équation de la tangente en 0 de $f$.
on a réalisé avec $xcas$ le dl à l'ordre 4 de la fonction exponentielle
.
L'équation de la tangente en 0 est $T_0 : y=1+x$
Le signe du premier terme non nul de degré supérieur ou égal à 2 de $P_n$ donne la position relative de la tangete en 0 et de la courbe représentative de $f$ au voisinage de 0.
Quand ce terme est positif alors la courbe représentative de $^f$ est audessus de sa tangente sion elle est en dessous au voisinage de 0.
on a réalisé avec $xcas$ le dl à l'ordre 4 de la fonction exponentielle
.
L'équation de la tangente en 0 est $T_0 : y=1+x$
$\frac{x^2}{2}\geq 0$ la courbe représentaive de $f$ est au dessus de sa tangente.
Exercice
Pour chaque fonction suivante donner le dl en 0 à l'ordre 4 puis une équation de sa tangente en 0 et la position relative de la courbe représentative de $f$ et de sa tangente au voisinage de 0.
- $f_1(x)=cos(x)$
- $f_2(x)=(x+1)ln(1-x)$
- $f_3(x)= \frac{1}{1-x}$
- $f_4(x) = (1-5x)e^{-2x}$
- $f_5(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$
- $f_6(x)=1-e^x-\frac12cos(x)$
- $f_7(x)=\sin(x)$
- $f_8(x)=x\cos(x)$